Cómo Calcular una Matriz Inversa
Calcular la inversa de una matriz es un elemento clave en álgebra lineal y está involucrada en una variedad de procesos, desde el cálculo de ángulos a la búsqueda de soluciones en ecuaciones complejas. La inversa de una matriz nos permite a los matemáticos trabajar la información haciendo cálculos con la matriz original, en vez de tener que trabajar a mano. Aquí te explicamos cómo calcular la inversa de una matriz.
Paso 1: Determína la matriz original
La inversa sólo puede ser calculada en matrices cuadradas. El número de filas y columnas de la matriz original deben ser iguales para que el cálculo de la inversa sea válido. Esto significa que una matriz 3×4 y una matriz 4X4 tienen inversas diferentes.
Paso 2: Encuentra el determinante
El determinante es un número numérico, que representa la magnitud de una matriz. Si la matriz original es una matriz 3X3, el determinante se calcula determinando la suma de todos los productos de la primera fila, restando la suma de todos los productos de la segunda fila, sumando la suma de todos los productos de la tercera fila. Esta suma es el determinante.
Paso 3: Calcular la matriz adjunta
La matriz adjunta consiste en el valor absoluto del cofactor de cada número de la matriz original. El cofactor de cada número se calcula con la ayuda de la fórmula
- Cij = (-1)i+j(detAij)
donde detAij es el determinante de la matriz menor. Por ejemplo, el cofactor de a12 , el primer número en la segunda fila, es calculado del determinante de la matriz 2X2 que se encuentra en la esquina superior izquierda de la matriz original.
Paso 4: Multiplica el determinante por la matriz adjunta
Una vez que hayas calculado el determinante y la matriz adjunta, debes multiplicar el determinante por la matriz adjunta para calcular la inversa. Recuerda que debes multiplicar el determinante por la matriz adjunta para obtener la inversa, no sólo la matriz original.
Paso 5: Normaliza la matriz inversa
Una vez que hayas calculado la inversa de la matriz original, debes normalizarla para conseguir una matriz unitaria. Una matriz unitaria es una matriz cuyas entradas son todas iguales a 1. Para lograr una matriz unitaria, debes dividir cada entrada de la matriz original por el determinante.
Paso 6: Comprueba el resultado
Por último, debes comprobar el resultado de la inversa de la matriz al multiplicar la matriz original por la inversa. Si el resultado es una matriz identidad, entonces la inversa está correctamente calculada.
¿Cómo saber si una matriz de 3×3 tiene inversa?
Podemos determinar cuando una matriz es invertible utilizando el siguiente teorema. Teorema: Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si det(A)≠0. det ( A ) ≠ 0. Además si A es invertible, entonces det(A−1)=1det(A). Entonces, para determinar si una matriz de 3×3 tiene inversa, necesitamos calcular el determinante de la matriz y verificar si el resultado es diferente de cero. Si el determinante es cero, la matriz no tiene inversa.
¿Cuántas formas hay para calcular una matriz inversa?
Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: por el método de Gauss y por el método de adjunción. El método de Gauss consiste en utilizar una fila de operaciones elementales para transformar la matriz dada en una matriz triangular superior. Una vez hecho esto, se puede utilizar el método de sustitución hacia atrás para resolver el sistema de ecuaciones para encontrar la matriz inversa. El método de la adjunción, por otra parte, se basa en el concepto de la adjunta de una matriz para calcular la matriz inversa. La adjunta de una matriz se define como una matriz de elementos transpuestos y de signos inversos de la matriz original. La matriz inversa se puede calcular multiplicando la adjunta de la matriz original por la inversa del determinante de la matriz en cuestión.
¿Cómo se calcula la inversa de una matriz de 2×2?
Inversa de una matriz 2×2 Por tanto, para calcular la inversa de A , sólo tenemos que dividir la matriz anterior entre el determinante de A .
Para calcular el determinante de una matriz de 2×2, tenemos que usar la siguiente fórmula:
D(A) = ad – bc
En nuestro caso, el determinante de A es:
D(A) = (1 5) – (3 2)
D(A) = 5 – 6
D(A) = -1
La inversa de A entonces sería:
A-1 = [[ 5 -3]
[-2 1]] / -1
A-1 = [[-5 3]
[2 -1]]
Finalmente, podemos comprobar que la inversa A-1 es correcta al multiplicarla por A.
A A-1 = [[ 1 3]
[ 2 5]] [[ -5 3]
[ 2 -1] ]
A A-1 = [[ -5 -9]
[ 4 10]]
Y como A A-1 = A-1 A = I (Matriz Identidad), entonces tendríamos que:
[[-5 -9]
[ 4 10]] = [[1 0]
[0 1]]
Por lo tanto, nuestra inversa está bien.