Sustitución Trigonométrica para la Resolución de Integrales
¿Qué es la Sustitución Trigonométrica?
Es un tipo de sustitución que nos ayuda a resolver integrales con mayor facilidad, esta nos permite reemplazar una integración diferencial a otra más sencilla.
¿Cómo Resolver Integrales Por Sustitución Trigonométrica?
1. Paso: Identifica si en la función hay una forma trigonométrica, por ejemplo: $intcos(x)dx$
2. Paso: El segundo paso es identificar una sustitución trigonométrica infinitesimal para eliminar los exponentes, por ejemplo: $u=cos(x)$
3. Paso: El tercer paso es reemplazar la función con su sustitución inferior mencionada, por lo tanto, tenemos una integral de la forma:
$begin{split}intcos(x)dx&=int udu\&=u^2+cend{split}$.
4. Paso: El cuarto paso es sustituir u con su forma original: $cos^2(x)+c$.
Como Conclusión:
Podemos concluir que al realizar la Sustitución Trigonométrica nos ayuda a simplificar el proceso de resolución de integrales, por lo tanto obtenemos resultados más precisos.
Cómo Resolver Integrales Por Sustitución Trigonométrica
La sustitución trigonométrica es un método útil para abordar integrales difíciles, sin tener que cambiar el problema por completo. Consiste en una fórmula que permite transformar una integral complicada en una simple para que sea más fácil de resolver. Para lograrlo, el método se basa en funciones inversas, expresiones algebraicas y relaciones trigonométricas.
Pasos Para Resolver Integrales Por Sustitución Trigonométrica
Para resolver una integral usando la sustitución trigonométrica, sigan los siguientes pasos:
- Identifique la variable y la función integrada. Esto le ayuda a averiguar qué procesos tienen que realizarse antes de aplicar los pasos de la sustitución trigonométrica. Cuando haya identificado estas dos variables, eliga la instrucción adecuada.
- Sustituya una expresión trigonométrica de una variable en la otra. Para hacer esto, busque una relación entre ellas. Por ejemplo, la función coseno inversa se expresa como arcocoseno. En este caso, sustituya el coseno inversa en la parte correspondiente de la integral.
- Integre la expresión resultante. Después de la sustitución debe haber una expresión más simple que sea fácil de integrar.
- Reescriba la expresión resultante. Una vez que haya integrado la expresión, deberá reescribirla para incluir la función inversa. Esto le ayudará a aclarar el resultado obtenido.
Ventajas del Método de Sustitución Trigonométrica
Utilizar la horma de sustitución trigonométrica para resolver integrales ofrece diferentes ventajas, tales como:
- Es sencillo de entender y seguir. El proceso de sustitución trigonométrica es relativamente simple y los posibles problemas se limitan a las transformaciones matemáticas en sí. No son necesarios cálculos complicados ni mucho conocimiento matemático.
- Se aplica a diferentes tipos de integrales. Esta técnica se puede utilizar para resolver integrales de todo tipo, sin importar su complejidad. Simplemente se necesita una transformación adecuada para aplicar la sustitución trigonométrica.
- Permite llegar al resultado con rapidez. Esta técnica es más rápida que otras formas de resolver integrales. Esto se debe a que, a diferencia de otras técnicas, no se necesita cambiar la forma original del problema para abordarlo.
La sustitución trigonométrica es un método altamente eficaz para resolver integrales difíciles. Al aplicar la técnica correctamente, es posible obtener el resultado sin tener que hacer demasiados cambios en el problema. Si desea conocer más sobre esta técnica, hay muchos libros de matemáticas donde encontrará información útil.
Cómo resolver integrales por sustitución trigonométrica
Las integrales por sustitución trigonométrica son un método útil para resolver integrales que involucran una combinación de funciones trigonométricas y una variable independiente.
Pasos
- Identificar los factores. Encontrar la variable o funciones trigonométricas involucradas en la integral.
- Encontrar el sustituto. Encuentra una variable para la que sea posible encontrar la integral.
- Hacer la sustitución. Reemplace cada aparición de la variable independiente con la nueva variable.
- Integrar. Resuelva la integral con la nueva variable.
- Restaure la sustitución. Sustituya la nueva variable por la variable independiente original.
Ejemplo
Supongamos que deseamos resolver la siguiente integral:
∫sin2(x)dx
- Identificar los factores: Esta integral involucra la función trigonométrica seno y una variable independiente x.
- Encontrar el sustituto: Usaremos la substitución u = 2x.
- Hacer la sustitución:Reemplazamos x con el sustituto: sin2(x) = sin2(u/2).
- Integrar: Resolvemos la integral con la nueva variable: ∫sin2(u/2)du = -2 + ∫cos(u)du = -2 + sin(u) + C.
- Restablecer la sustitución:Sustituye la nueva variable por la variable independiente original: -2 +sin(2x) + C.